Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．
（1）试说明：D是BC的中点；
（2）若AB=13，BC=10，AD=12，试猜测四边形ADCE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=DC，
∴BD=DC，
∴D是BC的中点；

（2）四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=13，BC=10，AD=12，
∴BD=BC=5，
∴AB²=BD²+AD²，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．
分析：（1）由AF∥BC，E是AD的中点，易证得△AEF≌△DEB，可得BD=AF，又由AF=DC，即可证得D是BC的中点；
（2）由AF=DC，AF∥BC，可得四边形ADCF是平行四边形，又由AB=13，BC=10，AD=12，可证得∠ADC=90°，则可证得四边形ADCF是矩形．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．