Question

（2013•桐乡市一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，圆心M在x轴的负半轴上，过点C的圆的切线与线段DB的延长线相交于点P．已知：点C的坐标是（0，

12

5

），tan∠BAC=

3

4

．
（1）求证：△PCB∽△PDC；
（2）求线段PC的长．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质得出∠MCB+∠PCB=90°，进而利用MC=MB，得出∠MCB=∠OBC，以及∠PCB=∠PDC即可得出；
（2）首先证明△AOC∽△COB，进而得出

OB

OC

=

OC

OA

，进而得出OB，BD的长，由△PCB∽△PDC得出

PC

PD

=

BC

CD

，即可得出PC的长．

解答：解：（1）连结MC，
∵圆心M在x轴的负半轴上，∴AB⊥CD于点O，
∴

BC

=

BD

，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC与⊙M相切于点C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，
又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；

（2）∵点C的坐标是(0，

12

5

)，
∴OD=OC=

12

5

，
∵tan∠BAC=

OC

OA

=

3

4

，
∴OA=

4

3

×

12

5

=

16

5

，
∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OB

OC

=

OC

OA

，
∴OB=

OC2

OA

=(

12

5

)2×

5

16

=

9

5

，
∴BD=BC=

OB2+OC2

=3，
设PC=x，BP=y，
由△PCB∽△PDC得：

PC

PD

=

BC

CD

，
即

x

3+y

=

y

x

=

3

24 5

，
解得：PC=x=

40

13

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法得出△AOC∽△COB是解题关键．