题目内容
（2013•桐乡市一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，圆心M在x轴的负半轴上，过点C的圆的切线与线段DB的延长线相交于点P．已知：点C的坐标是（0，| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
（1）求证：△PCB∽△PDC；
（2）求线段PC的长．
分析：（1）利用切线的性质得出∠MCB+∠PCB=90°，进而利用MC=MB，得出∠MCB=∠OBC，以及∠PCB=∠PDC即可得出；
（2）首先证明△AOC∽△COB，进而得出
=
，进而得出OB，BD的长，由△PCB∽△PDC得出
=
，即可得出PC的长．
（2）首先证明△AOC∽△COB，进而得出
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
| PC |
| PD |
| BC |
| CD |
解答：
解：（1）连结MC，
∵圆心M在x轴的负半轴上，∴AB⊥CD于点O，
∴
=
，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC与⊙M相切于点C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，
又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；
（2）∵点C的坐标是(0，
)，
∴OD=OC=
，
∵tan∠BAC=
=
，
∴OA=
×
=
，
∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴
=
，
∴OB=
=(
)2×
=
，
∴BD=BC=
=3，
设PC=x，BP=y，
由△PCB∽△PDC得：
=
，
即
=
=
，
解得：PC=x=
．
解：（1）连结MC，∵圆心M在x轴的负半轴上，∴AB⊥CD于点O，
∴
 |
| BC |
|
| BD |
∴∠OCB=∠PDC，
∵PC与⊙M相切于点C，∴PC⊥MC，
∴∠MCB+∠PCB=90°，
又∵MC=MB，∴∠MCB=∠OBC，∴∠PCB=∠PDC，
又∵∠P=∠P，∴△PCB∽△PDC；
（2）∵点C的坐标是(0，
| 12 |
| 5 |
∴OD=OC=
| 12 |
| 5 |
∵tan∠BAC=
| OC |
| OA |
| 3 |
| 4 |
∴OA=
| 4 |
| 3 |
| 12 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠ACO=90°，而∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
∴OB=
| OC2 |
| OA |
| 12 |
| 5 |
| 5 |
| 16 |
| 9 |
| 5 |
∴BD=BC=
| OB2+OC2 |
设PC=x，BP=y，
由△PCB∽△PDC得：
| PC |
| PD |
| BC |
| CD |
即
| x |
| 3+y |
| y |
| x |
| 3 | ||
|
解得：PC=x=
| 40 |
| 13 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法得出△AOC∽△COB是解题关键．
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