Question

【题目】已知和为等腰三角形，，，，点在上，点在射线上.

(1)如图1,若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；

(2)如图2,若AD=AB,求证：AF=AE+BC. .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）由∠BAC=∠EDF=60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD=BE，即可得到结论；

（2）在FA上截取FM=AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，证得∠ADM=∠EDF=∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM=BC，即可得到结论．

证明：(1)∵∠BAC=∠EDF=60°，

∴△ABC、△DEF为等边三角形，

∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，

在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴AD=BE，

∴AE+AD=AE+BE=AB=AF；

(2)在FA上截取FM=AE，连接DM，

∵∠BAC=∠EDF，

∴∠AED=∠MFD，

在△AED和△MFD中

，

∴△AED≌△MFD(SAS),

∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，

∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，

即∠ADM=∠EDF=∠BAC，

在△ABC和△DAM中,

，

∴△ABC≌△DAM(SAS)，

∴AM=BC，

∴AE+BC=FM+AM=AF.

即AF=AE+BC.