Question

【题目】如图，点C在线段AB上，过点C作CD⊥AB，点E，F分别是AD，CD的中点，连结EF并延长EF至点G，使得FG=CB，连结CE，GB，过点B作BH∥CE交线段EG于点H．

（1）求证：四边形FCBG是矩形．

（2）己知AB=10，．

①当四边形ECBH是菱形时，求EG的长．

②连结CH，DH，记△DEH的面积为S1， △CBH的面积为S2．若EG=2FH，求S1+S2的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）① ②16或

【解析】

（1）由EF是中位线，得EF平行AB，即FG平行CB，已知FG=CB，由一组对边平行且相等得四边形FCBG是平行四边形，又因为CD垂直AB，则四边形FCBG是矩形.

（2）①因为EF平行AC，根据平行列比例式，设EF为3x, 由中位线性质，直角三角形的中线的性质，四边形ECBH是菱形等条件，通过线段的长度转化，最终把AC和BC用含x的关系式表示，由AB=8，列方程，求出x, 把EG也用含x的代数式表示，代入x值，即可求出EG的长.

②由EF是△ACD的中位线，得DF=CF，根据同底等高三角形面积相等，得△DEH和△CEH的面积相等，因为四边形CEHB是平行四边形，所以△CEH的面积和△BCH的面积相等，得到关系式：S1+S2=2S2，由EF+FH=FH+HG，得EF=HG，结合已知EG=2FH，得FH=2FG，设EF等于a, 把有关线段用含a的代数式表示，分两种情况，即点H在FG上和点H在EF上，根据AB=10列关系式，求出a的值，再把S2用含a的代数式表示，代入a值即可.

（1）∵EF即是△ADC的中位线，

∴EF∥AC，即FG∥CB．

∵FG=CB，

∴四边形FCBG是平行四边形．

∵CD⊥AB，即∠FCB=90°，

∴四边形FCBG是矩形．

（2）解：①∵EF是△ADC的中位线，

∴EF=AC，DF=CD，

∴

∴可设EF=3x，则DF=CF=4x，AC=6x．

∵∠EFC=90°，

∴CE=5x．

∵四边形ECBH是菱形，

∴BC=EC=5x，

∴AB=AC+CB=6x+5x=10，

∴x=

∴EG=EF+FG=EF+BC=3x+5x=8x=；

②∵EH∥BC，BH∥CE，

∴四边形ECBH是平行四边形，

∴EH=BC，

又∵DF=CF，

∴S△DEH=S△CEH ，

∵四边形ECBH是平行四边形，

∴S△CEH=S△BCH

∴S1+S2=2S2 ．

∵EH=BC=FG，

∴EF=HG．

当点H在线段FG上时，如图，

设EF=HG=a，∵EG=2FH，

∴EG=2FH=4a，AC=2EF=2a，

∴BC=FG=3a．

∴AB=AC+C=2a+3a=10，

∴a=2．

∵FC=AC=a，

∴S1+S2=2S2=2××3a×a=4a2=16．

当点H在线段EF上时，如图．

设EH=FG=a，则HF=2a．

同理可得AC=6a，BC=a，FC=4a，

∴AB=6a+a=10，

∴a=

∴S1+S2=2S2=2××a×4a=4a2= ．

综上所述，S1+S2的值是16或．