题目内容
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
(1)求证：△BMD∽△CNE；
(2)当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
(3)设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围)；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
解析：
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分析：(1)由AB＝AC，∠B＝30°，根据等边对等角，可求得∠C＝∠B＝30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB＝∠NEC＝120°，∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°，即可判定：△BMD∽△CNE； (2)首先过点M作MH⊥BC，设BD＝x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH＝MF＝4－x，由(1)可得MD＝BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案； (3)首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案． 解答：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝∠FED＝60°， ∴∠MDB＝∠NEC＝120°， ∴∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°， ∴△BMD∽△CNE； (2)过点M作MH⊥BC， ∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切， ∴MH＝MF， 设BD＝x， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°， ∵∠B＝30°， ∴∠BMD＝∠FDE－∠B＝60°－30°＝30°＝∠B， ∴DM＝BD＝x， ∴MH＝MF＝DF－MD＝4－x， 在Rt△DMH中，sin∠MDH＝sin60°＝ 解得：x＝16－8 ∴当BD＝16－8 (3)过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K， ∵AB＝AC， ∴BK＝ ∵∠B＝30°， ∴AK＝BK·tan∠B＝4× ∴S△ABC＝ 由(2)得：MD＝BD＝x， ∴MH＝MD·sin∠MDH＝ ∴S△BDM＝ ∵△DEF是等边三角形且DE＝4，BC＝8， ∴EC＝BC－BD－DE＝8－x－4＝4－x， ∵△BMD∽△CNE， ∴S△BDM：S△CEN＝( ∴S△CEN＝ ∴y＝S△ABC－S△CEN－S△BDM＝ 当x＝2时，y有最大值，最大值为
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用． |
＝
＝
，
，
BC＝
＝
，
＝
，
x，
·x·
x2，
)2＝
，
(4－x)2，
－
x2＋2
x＋
＝－
(x－2)2＋
(0≤x≤4)，
提示：
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考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的性质；切线的性质；解直角三角形． |
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为