Question

（1）观察发现：
如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP最小．
作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A交直线l于点P，点P即为所求．
如图2，AD是等边△ABC的高，点E是AB的中点，在AD上求作一点P，使BP+PE最小．
作法：连接CE交AD于点P，点P即为所求．若AB=2，则BP+PE的最小值为______；
（2）实践运用：
如图3，在正方形ABCD的边长是4，BE=1，在对角线AC上求作一点P，使BP+EP最小，并求出BP+EP的最小值；
（3）拓展延伸：
如图4，在四边形ABCD的对角线AC上求作一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，不必写出作法）

Answer 1

解：（1）CE的长即为BP+PE的最小值．
∵在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=．
故答案为：；

（2）如图3，连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据两点之间线段最短可知，点P即为所求．
∵正方形ABCD的边长是4，BE=1，
∵AE=3，AD=4，
∴DE===5；

（3）如图4．作点D关于AC的对称点D'，连接D'B，并延长与AC的交点即为点P．
分析：（1）由题意可知，CE的长即为BP+PE的最小值，根据等边三角形三线合一的性质可知CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据CE=BE即可得出结论；
（2）连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据两点之间线段最短可知，点P即为所求；
（3）作点D关于AC的对称点D'，连接D'B，并延长与AC的交点即为点P．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键．