Question

如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6. 4，4. 8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），

（1）求线段AB所在直线的解析式；

（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；

（3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）过点B作BH⊥OA，垂足为点H

∵∠COA=90°．BC∥OA∴∠BCO＝90°

∴四边形COHB是矩形∴BH=CO，BC=OH

∵B（6. 4，4. 8）∴OH=6. 4，BH=4. 8

∴………………………………………………………………2分

∵OB⊥BA∴∠OBA=90°

∴∠OBA=∠OHB=90°

∵∠BOH=∠AOB

∴△BOH∽△BOA

∴

∴OB²=AO·OH

∴8²=OA·6. 4，OA=10    …………………………………………………………3分

∴AB=

∴A（10，0），设直线AB的解析式为

解得k=，

∴  ……………………………………………………………………4分

（2）过点D作DF⊥OA，垂足为F.

∴DF∥BH

∴△ADF∽△ABH

∴，，DF=0. 8   ……………………………………………5分

∵OE=2t，AE=10－2t

∴（0＜t≤5）………………………………………………………7分

（3）①∠ADE=90°∠BAO=∠DAE

当时，△ADE∽△ABO

解得 ………………………………………………………………9分

②∠AED=90°∵∠OAB=∠DAE

当时△AED∽△ABO

∴解得  ……………………………………………………10分

∴当或秒时，以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似………11分

【相关知识点】三角形相似，一次函数、二次函数，一元一次方程

【解题思路】将动点静止在某一时刻，转化为相关三角形的知识求解.