Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在点，使的面积最大.

【解析】

（1）将点代入抛物线的解析式求出b即可；

（2）由A、B关于对称轴对称可知，连接BC交对称轴于点，点即为所求，求出直线BC的解析式，代入x=3即可得到点的坐标；

（3）设，连接、CM、BM，根据列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．

解：（1）∵抛物线过点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由得：，

∴，

又∵抛物线对称轴为：，点A关于对称的点为，

∴连接BC交于点，点即为所求，

设直线BC解析式为：，

代入，得：，解得：，

∴直线BC解析式为：，

当时，，

∴；

（3）设，则，

连接、CM、BM，

则：，

，

，

，

，

∴当时，的面积最大，此时，

故存在点，使的面积最大.