题目内容
【题目】如图，边长为3的正方形OABC的两边在两坐标轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C，与x轴交于另一点D，P为第一象限内抛物线上一点，过P点作y轴的平行线交x 轴于点Q，交AC于点E.
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)过E点作x轴的平行线交AB于点F，若以P，E，F为顶点的三角形与△ODC相似，求点P坐标；
(3)过P点作PH⊥AC于H，是否存在点P使△PEH的周长取得最大值，若存在，请求出点P坐标及△PEH周长的最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）D（－1，0）；（2）点P坐标为（
，
）；（3）存在为P使△PEH周长取得最大值，点P坐标为（1.5，3.75），△PEH周长最大值为
.
【解析】分析：（1）由正方形边长是3， 得到A、C的坐标，然后把A、C的坐标代入，解方程即可得到抛物线解析式，令y=0，解一元二次方程即可得到点D的坐标．
（2）设P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)，先用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x+3，设E(m，3-m)，得到PE=-m2+3m，EF=3-m．因为∠PEF=∠COD=900，故要使△PEF与△COD相似，只需
或
，分别解方程即可得出结论．
（3）由正方形的性质可以得到∠PEH=∠AEQ=450．在Rt△PEH中，PH＝
，EH＝．设△PEH的周长为l，则l＝PE+PH+EH=(
)PE，故当PE取最大值时l有最大值．而PE=-m2+3m，配方即可得出结论．
详解：（1）∵正方形边长是3， ∴A（3，0），C（0，3）．
∴
．
解得
．
∴y=-x2+2x+3．
由-x2+2x+3＝0得 x1=3，x2=-1．∴D（－1，0）．
（2）设P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)．
设AC的解析式为：y=kx+b，
则
．解得：
．
∴AC：y=-x+3，E(m，3-m)．
∴PE=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m，EF=3-m
∵∠PEF=∠COD=900，∴要使△PEF与△COD相似，
只需或．
①当时，
． 解得：m1=m2=3．
∵0<m<3，所以舍去．
②当时，
， 解得：m1=，m2=3．
∵0<m<3，所以m=．
当x=时，y=
∴点P坐标为（
）．
（3）∵OABC是正方形，∴∠OAB=900，AC平分∠OAB．∴∠OAC=450．
又∵∠PQA=900，∴∠AEQ=900-∠OAC=450．
∠PEH=∠AEQ=450．
在Rt△PEH中，PH＝PEsin450=，EH＝PEcos450=．
设△PEH的周长为l，则l＝PE+PH+EH=()PE，
∴当PE取最大值时l有最大值．
PE=-m2+3m＝－(m-1.5)2+2.25，
即当m=1.5时PE有最大值2.25．
l最大＝()PE=．
当m=1.5时，-m2+2m+3＝3.75
答：存在为P使△PEH周长取得最大值，点P坐标为（1.5，3.75），△PEH周长最大值为．
