Question

在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF=BE；
（2）若CF=2，CE=．求tan∠ADF．

Answer 1

（1）证明：∵F，E是AC，BC的中点，
∴FE=AB（中位线定理）；
∵AD=AB，
∴AD=FE，
∵点F是AC中点，
∴AF=FC，
又∠DAF=∠CFE=90°，
∴△DAF≌△FEC，
∴DF=EC，
∴DF=BE；

（2）解：∵CF=2，CE=，
∴EF=1，
∴tan∠ADF=tan∠CEF=2．
分析：（1）连接GF，易得AF是GD的中垂线，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因为EF为△ABC的中位线，所以BG=EF，BG∥EF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以GF=BE．
（2）将∠ADF的正弦值转化为∠CEF的正弦值求即可．
点评：本题考查了三角形的中位线定理及锐角三角函数的定义．用了中垂线的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质求解．