Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
【小题1】求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；v
【小题2】在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点
坐标；若不存在，请说明理由；v
【小题3】试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求
出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】抛物线的解析式为 ，顶点
【小题2】见解析。
【小题3】见解析。解析:
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
， ， ……………………（2分）
点都在抛物线上，
  ……………………（4分）
抛物线的解析式为 ，顶点 …………（6分）
（2）存在， 。……………………（8分）
（3）存在……………………（9分）
理由：解法一：

延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，， 在中，，
，， ……………………（12分）
设直线的解析式为
  解得  ………………（13分）
  解得 
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． …14分

解法二：
过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．连接交于点，则点即为所求．
过点作轴于点，则，．
，

同方法一可求得．
在中，，，可求得，
为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，
垂直平分．
即点为点关于的对称点．……………………（12分）
设直线的解析式为，由题意得
  解得     ……………………（13分）
  解得 
在直线上存在点，使得的周长最小，此时．