Question

如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-

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∠DBC．求证：AC=AD．

Answer 1

分析：以AB为轴作△ABC的对称△ABC′，则AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，再证明D、B、C′共线，根据△ADC′是等边三角形，
即可证明；

解答：证明：以AB为轴作△ABC的对称△ABC′，如图：
则AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，
因为∠ABD=90°-

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∠DBC
所以2∠ABD+∠DBC=180°
所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°
即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC′+∠ABD=180°
所以D、B、C′共线
又因为∠D=60°
所以∠DAC=180°-∠C′-∠D=60°=∠D=∠C′
所以△ADC′是等边三角形，
所以AD=AC′=AC．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，关键是以AB为轴作△ABC的对称△ABC′．