Question

2．已知AB=AD，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC于E，
（1）如图①，求证：BE+CD=AE；
（2）如图②图③，请直接写出BE、CD、AE之间的数量关系，不需要证明；
（3）若CE=8，BE=$\frac{1}{2}$AE，则CD=4或12．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥AE，垂足为F，证明△ABE≌△ADF，四边形CDFE为长方形，得BE=AF，CD=EF，即可得出BE+CD=AE；
（2）如图②过点A作AF⊥CD，垂足为F，证明△ABE≌△ADF，四边形AECF为长方形，得BE=DF，CF=AE，即可得出BE+AE=CD；如图③过点D作DF⊥AE，垂足为F，证明△ABE≌△ADF，四边形CDFE为长方形，得BE=AF，CD=EF，即可得出BE=CD+AE；
（3）根据（1）可得出DF=8，则AE=8，BE=4，得出CD=4，再（2）得AE=8，BE=4，得出CD=12；从而得出CD的长为4或12．

解答 解：（1）过点D作DF⊥AE，垂足为F，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠C=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，
∴四边形CDFE为长方形，
∴CD=EF，
∴BE+CD=AE；
（2）如图②；BE+AE=CD；
如图③；BE=CD+AE；
（3）如图①，得BE+CD=AE；
∵DF=CE=8，
∴AE=8，
∴BE=4，
∴CD=4，
如图②，得BE+AE=CD；
∵AF=CE=8，
∴AE=8，
∴BE=4，
∴CD=12；
∴CD的长为4或12．
故答案为4或12．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，证明线段相等，注意转化思想的运用，难度不大，是中考常见题型．