Question

如图4­3­65，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(单位：s)．

(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证： △ADE≌△CDF.

(2)填空：

①当t为________s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为________s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是直角梯形．

Answer 1

 (1)证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.

∵D是AC边的中点，∴AD＝CD.

又∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF.

(2)①∵当四边形ACFE是菱形时，

∴AE＝AC＝CF＝EF.

由题意可知：AE＝t，CF＝2t－6，∴t＝6.

②ⅰ)若四边形ACFE是直角梯形，此时EF⊥AG.

过C作CM⊥AG于M，

则AM＝3，AE－CF＝AM，即t－(2t－6)＝3，∴t＝3.

此时，C与F重合，不符合题意，舍去．

ⅱ)若四边形AFCE是直角梯形，此时AF⊥BC.

∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，

∴2t＝3，得到t＝.经检验，符合题意．