数学课上.老师出示了如下框中的题目. 在等边三角形ABC中.点E在AB上. 点D在CB的延长线上.且ED＝EC. 如图13.试确定线段 AE与DB的数量关图13 系.并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后.进行了如下解答: (1)特殊情况.探索结论当点E为AB的中点时.如图14(1).确定线段AE与DB的数量关系.请你直接写出结论:AE DB．图14 (2)特例启� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

数学课上，老师出示了如下框中的题目，

在等边三角形ABC中，点E在AB上，

点D在CB的延长线上，且ED＝EC，

如图13，试确定线段

AE与DB的数量关图13

系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图14（1），确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）．

图14

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的数量关系是：AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．（请你直接写出结果）

解：（1）＝（2）＝；

在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

因为EF∥BC，

所以∠AEF=∠AFE =60°=∠BAC．

所以△AEF是等边三角形，

所以AE=AF=EF，

所以，即BE=CF.

因为ED=EC，

所以∠EDB=∠ECB，

又因为∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,

所以∠BED=∠FCE，

所以△DBE≌△EFC，

所以DB=EF，

所以AE=DB.

(3)1或3.

点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30°，又ED=EC，则∠D=30°，所以

∠DEC=120°，则∠DEB=30°=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先证

△AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)当E在射线AB上时，如答图4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°，所以∠BCE＝30°，因为ED＝EC，所以∠D＝30°，则∠DEB＝90°，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3；

当E在射线BA上时，如答图4（2），过点E作EF⊥BD于点F，则∠BEF＝30°，所以BF＝BE＝1.5,

所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD，

所以CD＝2CF＝1.

综上，CD的长为1或3．

答图4

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