Question

如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A₁，B₁，C₁，作出了正△A₁B₁C₁，用同样的方法，作出了正△A₂B₂C₂，…，由此可得，正△A₈B₈C₈的面积是

1

48

．

Answer 1

分析：首先由别取△ABC三边的中点A₁，B₁，C₁，根据三角形中位线的性质，可得△A₁B₁C₁∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得S_△A1B1C1=

1

4

S_△ABC=

1

4

，继而可得规律：S_△AnBnCn=

1

4n

，则可求得答案．

解答：解：∵△ABC三边的中点A₁，B₁，C₁，
∴B₁C₁=

1

2

BC，A₁B₁=

1

2

AB，A₁C₁=

1

2

AC，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，
∴S_△A1B1C1=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
同理：S_△A2B2C2=

1

4

S_△A1B1C1=

1

42

，
∴S_△AnBnCn=

1

4n

，
∴正△A₈B₈C₈的面积是：

1

48

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意得到规律：S_△AnBnCn=

1

4n

是解此题的关键．