Question

（2001•南京）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于D，C在⊙O上，PC=PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，若AC=PC，PB=1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，OD，通过证明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．
（2）求出∠CPA的度数，运用三角函数得出⊙O的半径．
解答：（1）证明：连接OC，OD；
∵PD与⊙O相切于D，
∴∠PDO=90°．
∵C在⊙O上，PC=PD，OP=OP，OC=OD，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=90°．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接AC，
∵AC=PC，
∴∠CAO=∠CPA；
∵∠PCO=90°，∠COP=2∠CAO
∴∠CPA+∠C0P=3∠CPA=90°，
∴∠CPA=30°．
∵在直角△OCP中，∠CPA=30°，
∴OC=OP，
∴OC=0.5（1+OB）；
∵OC=OB，
∴OC=1，
∴⊙O的半径为1．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），通过切线的性质证明．同时考查了运用三角函数求长度．