题目内容
如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若
，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且
，
．
理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．
（1）作图如下：
（2）是；（3）见解析
解析试题分析：（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；
（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值；
（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=
MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长；
证法二：利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出∠M=∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长．
（1）作图如下：
（2）在图2中，
，
∴四边形EFGH的周长为
．
在图3中，
，
．
∴四边形EFGH的周长为
．
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．
（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．
∵
，
，
∴
．
而
，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴
，
．
同理：
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
过点G作GK⊥BC于K，则
．
∴
．
∴四边形EFGH的周长为
．
证法二：∵，，
∴．
而，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴，．
∵，
，
而
，
∴
．
∴HE∥GF．
同理：GH∥EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴
．
而，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE．
∴
．
过点G作GK⊥BC于K，则
．
∴
．
∴四边形EFGH的周长为．
考点：本题考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，
点评：解答本题的关键读懂题意，准确理解“反射四边形EFGH”特征．
如图，在矩形MNPQ中，MN=6，PN=4，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，
，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且
，
．