Question

【题目】如图，已知抛物线C1：的顶点为P，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C2.抛物线C2的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，则点Q的坐标是______________.

Answer 1

【答案】或

【解析】(3)∵抛物线C2由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，

∴顶点N、P关于点Q成中心对称，

设点N坐标为(m,5)，

作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，

作PK⊥NG于K，

∵旋转中心Q在x轴上，

∴EF=AB=2BH=6，

∴FG=3,点F坐标为(m+3,0).

H坐标为(2,0),K坐标为(m,5)，

∵顶点P的坐标为(2,5)，

根据勾股定理得：

PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，

PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，

NF2=52+32=34，

①当∠PNF=90°时,PN2+NF2=PF2,解得m=，

∴Q点坐标为(,0).

②当∠PFN=90°时,PF2+NF2=PN2,解得m=，

∴Q点坐标为(,0).

③∵PN>NK=10>NF，

∴∠NPF≠90°

综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形。