Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动（不与A、B点重合），点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动（不与D、A点重合），如果P、Q同时出发，用t（s）表示运动时间，则：
（1）若△QAP的面积为y，试求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，
∴AD=BC=6cm，
根据题意得：AP=2tcm，DQ=tcm，
∴AQ=AD-DQ=6-t（cm），
∴S_△PAQ=y=AP•AQ=×2t×（6-t）=-t²+6t（0＜t＜6）；
∴y与t之间的函数关系式为：y=-t²+6t，自变量t的取值范围为：0＜t＜6；

（2）∵∠PAQ=∠B=90°，
∴当时，△APQ∽△BCA，
即，
解得：t=1.2，
∴当时，△APQ∽△BAC，
即，
解得：t=3，
∴当t=1.2或t=3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
分析：（1）由在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，根据题意可得AP=2tcm，DQ=tcm，AQ=AD-DQ=6-t（cm），继而可得y与t之间的函数关系式；
（2）分别从当时，△APQ∽△BCA与当时，△APQ∽△BAC，继而求得t的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．