Question

【题目】如图，在中，，点是边的中点，，垂足为点，延长与边交于点．

求：（1）的正切值；

（2）线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由Rt△ABC，且CF垂直于BD，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD，根据AC的长确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，利用锐角三角函数定义表示出tanA，进而表示出AE，在Rt△CEH中，利用锐角三角函数定义表示出CH，由CH+AH表示出AC，根据已知AC的长求出k的值，即可确定出所求．

（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
又∵CF⊥BD，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCE+∠CBD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∵AC=4且D是AC的中点，
∴CD=2，
又∵BC=3，

在Rt△BCD中，∠BCD=90°．
∴tan∠CBD=，

∴tan∠ACE=tan∠CBD；

（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

在Rt△EHA中，∠EHA=90°，
∴tanA=，

∵BC=3，AC=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanA=，
∴，
设EH=3k，AH=4k，
∵，即，
∴AE=5k，
在Rt△CEH中，∠CHE=90°，
∴tan∠ECA=，

∴CH=，

∴AC=AH+CH=，

解得：，