Question

如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC＝∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP＝x，DQ＝y．

(1)求CD的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当∠DAQ＝2∠BAC时，求CP的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∠DBC＝∠BAC，∠BCD＝∠ACB，∴△BDC∽△ABC　　(1分) 　　∴　　(1分) 　　∵，，∴　　(1分) 　　(2)∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC． 　　∵∠DBC＝∠BAC，∠BCD＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC． 　　∴∠ABC＝∠ACB． 　　∴AC＝AB＝4　　(1分) 　　作AH⊥BC，垂足为点H． 　　∴BH＝CH＝1． 　　作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH． 　　∴，即． 　　∴，　　(1分) 　　又∵DE∥PQ，∴，即　　(1分) 　　整理，得　　(1分) 　　定义域为x＞0　　(1分) 　　(3)∵∠DBC＋∠DCB＝∠DAQ＋∠DQA，∠DCB＝∠ABD＋∠DBC， 　　∴2∠DBC＋∠ABD＝∠DAQ＋∠DQA． 　　∵∠DAQ＝2∠BAC，∠BAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DQA　　(1分) 　　∴AQ＝AB＝4　　(1分) 　　作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，． 　　∴　　(1分) 　　解得　　(1分) 　　∴　　(1分) 　　解得，即　　(1分)