Question

如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB=4．求阴影部分面积；
（2）若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP=BE，∠ABP=∠EBC；以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积=扇形BEQ，则图形ECQ的面积=图形AFP的面积，于是S_阴影部分=S_扇形BAC-S_扇形BFQ，然后根据扇形的面积公式计算即可；
（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP=45°，PE=4

2

，则∠PEC=135°-45°=90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．

解答：解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠ABP=∠EBC，
以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积=扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积=图形AFP的面积，
∴S_阴影部分=S_扇形BAC-S_扇形BFQ=

90•π•82

360

-

90•π•42

360

=12π；

（2）连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，PE=4

2

，
∴∠PEC=135°-45°=90°，
∴PC=

PE2+EC2

=

32+49

=9．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

n•π•R2

360

（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．