Question

设三个正数a、b、c满足(a²＋b²＋c²)²＞2(a⁴＋b⁴＋c⁴)．求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由已知，得 　　a4＋b4＋c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2＞2a4＋2b4＋2c4， 　　即　a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2＜0， 　　∴a4＋b4＋2a2b2－2c2a2－2b2c2＋c4－4a2b2＜0， 　　(a2＋b2)2－2c2(a2＋b2)＋c4－4a2b2＜0， 　　(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＜0， 　　(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＜0， 　　[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＜0， 　　(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0． 　　∵a＋b＋c＞0 　　∴(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0， 　　∴(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＞0． 　　∴a、b、c是某一三角形三边的长．