Question

如图所示，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点，QP⊥AP交CD于Q，设PB＝x，△ADQ的面积为y． (1) 求y与x之间的函数关系式 (2) 当P点运动到什么位置时，△ADQ的面积最大? (3) 点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ面积的?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因为ABCD为正方形 　　所以∠ABP＝∠PCQ＝ 　　又因为QP⊥AP 　　所以∠APB＋∠QPC＝∠BAP＋∠APB＝ 　　所以∠BAP＝－∠QPC 　　所以△ABP∽△PCQ 　　所以＝ 　　所以＝ 　　所以CQ＝ 　　所以DQ＝4－CQ＝4－＝ 　　所以y＝AD·DQ＝×4× 　　即y＝x2－2x＋8(0≤x＜4)
(2)	显然，当P与B重合时，Q与C重合，此时△ADQ的面积最大，S△ADQ最大＝S△ADC＝×4×4＝8，同理，当P与C重合时，S△ADQ最大＝8
(3)	解：因为S△ABP＝AB·BP＝×4×x＝2x，假没存在满足条件的点P，则2x＝，整理得x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8．因为x2＝8＞4，不符合题意，舍去，所以x＝2，故点P存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ面积的，此时，BP的长为2． 　　解题指导：要求△ADQ的面积y，与BP的长x之间的关系式，因为AD＝4．∠ADQ＝，所以只要建立DQ与BP的长x的关系式，因为不能找到△ABP与△ADQ相似的条件，而DQ＝4－CQ，PC＝4－BP＝4－x，所以只需证明△ABP∽△PCQ．