Question

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据______，易证△AFG≌______，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B²+BD²=E′D²，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²；
解答：解：（1）∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFG和△AEF中，
∴△AFG≌△AEF（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFG和△AEF中，
∴△AFG≌△AEF（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE²=BD²+EC²，
证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，

∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．
点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．