题目内容

通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。

原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。

根据    ,易证△AFG≌    ,得EF=BE+DF。

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系    时,仍有EF=BE+DF。

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。

 

【答案】

解:(1)SAS;△AFE。

(2)∠B+∠D=180°。

(3)BD2+EC2=DE2。理由见解析

【解析】

试题分析:(1)在△AFG和△AEF中,,∴△AFG≌△AEF(SAS)。

(2)如图,把△ABE绕A点逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,连接FG,

同(1)△AEF≌△AGF(SAS)得EF=GF;

由旋转的性质,得BE=DG,∠B=∠ADG,

若EF=BE+DF,则GF=DG+DF。

∴点F、D、G共线。∴∠ADF+∠ADG180°,即∠B+∠D=180°。

(3)根把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,根据旋转的性质,全等三角形的性质和勾股定理,可得到BD2+EC2=DE2

BD2+EC2=DE2。推理过程如下:

∵AB=AC,

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合(如图)。

∵△ABC中,∠BAC=90°,

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°。

∴EC2+CG2=EG2

在△AEG与△AED中,

∵根据旋转的性质,∠CAG=∠BAD。

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD。

又∵根据旋转的性质,AD=AG,AE=AE,

∴△AEG≌△AED(SAS)。∴DE=EG。

又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2

 

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