(2013•大港区一模)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中.O为原点.C在x轴上.OA=6.OC=10．.在OA上取一点E.将△EOC沿EC折叠.使O点落在AB边上的D点.求E点的坐标,.在OA.OC边上选取适当的点E′.F.将△E′OF沿E′F折叠.使O点落在AB边上D′点.过D′作D′G∥AO交E′F于T点.交OC于G点.求证:TG=AE′,的条件下.设T(x.y)．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•大港区一模）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．

（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．

分析：（1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，在Rt△BCD中，运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8，然后在Rt△AED中，由勾股定理得OE²=2²+（6-OE）²，解方程求出OE的长，进而求出点E的坐标；
（2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′，则∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，则TG=AE′；
（3）①由T（x，y），得出AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y，在Rt△AD′E′中，根据勾股定理得出AD′²+AE′²=D′E′²，即x²+y²=（6-y）²，整理可求出y与x的函数关系式；
②在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A重合，四边形AOFD′为正方形，可据此求出此时x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．

解答：

解：（1）如图（1），∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，
∴DC=OC=10．
在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
∴BD=

DC2-BC2

=8．
在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
∴DE²=AD²+AE²，即OE²=2²+（6-OE）²，
解得 OE=

，
∴E点的坐标为（0，

）；

（2）如图（2），∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，
∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，
∵D′G∥AO，
∴∠OE′F=∠D′TE′，
∴∠D′E′F=∠D′TE′，
∴D′T=D′E′=OE′，
∴TG=AE′；

（3）①∵T（x，y），
∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．
在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，
∴AD′²+AE′²=D′E′²，即x²+y²=（6-y）²，
整理，得y=-

x²+3；

②结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，
当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，
此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，
故变量x的取值范围是2≤x≤6．

点评：本题考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，函数解析式的求法等知识，综合性较强，难度适中，主要运用数形结合的思想方法．