Question

如图所示，已知：A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．

(1)求证：AB＝AC；

(2)若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d₁、d₂，求证：d₁＋d₂＝O₁O₂；

(3)在(2)的条件下，若d₁d₂＝1，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r，求证R²＋r²＝R²r²．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分别作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E，易证O1D∥AM∥O2E，AD＝AE； 　　(2)先证O1O2＝2AM，再证O1D＋O2E＝O1O2； 　　(3)先证Rt△O1AD∽Rt△AO2E，得AD·AE＝d1·d2＝1，再由(1)、(2)知O1O2＝d1＋d2·d1＝，d2＝，∴R2＋r2＝推证结论．