Question

已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。

（1）当点P在线段AB上时（如图），求证：PA·PB=PE·PF； 　　
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题中的结论还成立吗？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由；　
（3）若AB=4，sin∠EBA=，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）∵BT切⊙O于点B，　　
∴∠EBA=∠C，　　
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，　　
∴∠AFP=∠EBP 　　
又∠APF=∠BPE，
∴△PFA∽△PBE，　　
∴=，即PA·PB=PE·PF；
（2）当P为BA延长线上一点时，（1）题的结论仍成立
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，　　
∵EP∥BC，
∴∠PFA=∠C，　　
∴∠EBA=∠PFC，
又∠EPB=∠APF，　　
∴△EPB∽△APF，
∴，　　
∴PA×PB=PE×PF。
（3）作直径AH连结BH，则∠ABH=90°，　　
∵EB切⊙O于B点，
∴∠H=∠EBA
在Rt△ABH中，AB=4，sin∠H=sin∠EBA=
∴AH==6
∴⊙O的半径为3。