题目内容

商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元（x为整数）．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（3）若你是该商场经营者，该如何设计销售方案，才能使该商场日盈利最大？说明理由．

【答案】分析：（1）根据当售价定为每件150元时平均每天可销售30件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件得出商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（150-100-x）元，即得出了答案；
（2）根据题意得出方程（50-x）（30+2x）=2100，求出方程的解即可；
（3）设利润是W元，得出W=（50-x）（30+2x），化成顶点式，根据抛物线的性质和图象求出即可．
解答：解：（1）∵当售价定为每件150元时平均每天可销售30件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（150-100-x）元，即（50-x）元，
故答案为：2x，（50-x）．

（2）根据题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
x²-35x+300=0，
x₁=15，x₂=20，
因为为了尽快减少库存，所以应该取20，
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．
答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．

（3）设利润是W元，
则W=（50-x）（30+2x）=-2x²+70x+1500=-2（x-17.5）²+2112.5，
∵-2＜0，
∴开口向下，有最大值，
∵x为整数，
∴x=17，x=18，
∴为了减少库存，
∴x取18，
当x=18时，W的最大值是2112，
即销售方案是降价18元，能使该商场日盈利最大．
点评：本题考查了二次函数的应用，关键是能把实际问题转化成用数学式子来表示，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，但有一定的难度．