Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上一动点，以P为直角顶点作Rt△PMN交直线CD于点N，交直线BC于点M，

（1）如图1，若点P与对角线交点O重合时，求证：PM=PN．

（2）如图2，若点P为线段OD中点时，

①求证：BM+3DN=3；

②如图3，当M点在线段CB延长线上，且点N使得3CN=DN，MN分别交AB，BD于E，F，求线段EF的长（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② .

【解析】

（1）根据∠MPC=∠NPD，CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，判定△PCM≌△PDN，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PM=PN；
（2）如图2，过P作PQ⊥BD，交CD于Q，则∠BPQ=90°，由△MPB∽△NPQ，可得=3，BM=3NQ，由PQ∥OC，点P为线段OD的中点，推出点Q为CD的中点，推出CQ=BC=1，推出DN+NQ=1，可得DN+BM=1，由此即可解决问题．
（3）过P作PQ⊥BD，交CD于Q，判定△PBM∽△PQN，得到，根据BM=3NQ，求得CN，BM，ME以及EN的长，再根据△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，即可得出EN的长，根据相似三角形的性质得到线段EF的长．

解：（1）如图1中，

依题意得，∠MPN=∠CPD=90°，

∴∠MPC=∠NPD，

又∵正方形ABCD中，AC、BD交于点O，

∴CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，

在△PCM和△PDN中，

，

∴△PCM≌△PDN（ASA），

∴PM=PN；

（2）①证明：如图2，过P作PQ⊥BD，交CD于Q，则∠BPQ=90°，

∴∠PQD=∠PBM=45°，

依题意得，∠MPN=∠QPD=90°，

∴∠MPB=∠NPQ，

∴△MPB∽△NPQ，

∴，

∵点P为线段OD的中点，OB=OD，

∴BP=3PD，

∵PD=PQ，

∴PB=3PQ，

∴，即BM=3NQ，

∵PQ∥OC，点P为线段OD的中点，

∴点Q为CD的中点，

∴CQ=BC=1，

∴DN+NQ=1，

∴DN+ BM=1，

∴BM+3DN=3．

②如图3，过P作PQ⊥BD，交CD于Q，则∠BPQ=∠MPN=90°，∠PQD=45°，

∴∠MPB=∠NPQ，
∵∠PQD=∠PBC=45°，
∴∠PBM=∠PQN=135°，
∴△PBM∽△PQN，
∴，
又∵点P为线段OD的中点，
∴PD=PB=PQ，
∴，即BM=3NQ，
∵CN=DN=CD=，
∴DN=，
∵PQ∥OC，P为线段OD的中点，
∴Q为CD的中点，
∴DQ=CQ=CD=1，
∴NQ=1-=，
∴BM=3NQ=，CM=+2=，
∴Rt△CMN中，MN=，
∵EB∥NC，
∴△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，
∴，即，
∴BE=，ME=，
∴EN=MN-ME=，
∵，
∴，
解得EF=.

故答案为：（1）见解析；（2）①见解析；② .