Question

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（1，0），当以点A为圆心的圆与直线l：y=x+3相切时，切点的坐标是________．

Answer 1

（-1，2）
分析：设⊙A与直线l相切于点P，连接AP，做PM⊥AD，PN⊥OC，首先根据题意和切线的性质即可推出AP⊥CD，PN=OM，D（-3，0），C（O，3），便可确定△DAP和△CDO均为等腰直角三角形，可得，PM=AD，再根据A、D两点的坐标，推出OA、AD、PM的长度，由等腰三角形的性质可得，M点为AD中点，求出AM=2，OM=1，即PN=1，最后由点M在x的负半轴上，即可求出P点的坐标为（-1，2）．
解答：解：如图，设⊙A与直线l相切于点P，连接AP，做PM⊥AD于M，PN⊥OC于N，
∴AP⊥CD，PN=OM，
∵y=x+3，
∴D（-3，0），C（O，3），
∴OC=OD=3，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵AP⊥DP，
∴∠PAD=45°，
∴△DAP和△CDO均为等腰直角三角形，
∴PM=AD，
∵A（1，0），D（-3，0），
∴OA=1，
∴AD=4，
∴PM=2，
∵PM⊥AD，
∴M点为AD中点，
∴AM=2，
∵OA=1，
∴OM=AM-AO=2-1=1，
∴PN=1，
∵点M在x的负半轴上，
∴P点的坐标为（-1，2）．
故答案为（-1，2）．
点评：本题主要考查切线的性质，等腰直角三角形的判定及性质，点的坐标，关键在于根据题意正确的画出图形，根据相关的性质定理推出OM、PM的长度，继而确定P点的坐标．