Question

（本题满分12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

Answer 1

（1）y=x2-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周长是.

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求得b的值即可确定抛物线的解析式，然后求抛物线的顶点坐标；

（2）根据解析式求得点B和C的坐标，根据坐标确定线段AB、BC、CA的长，应用勾股定理的逆定理进行判断；

（3）根据抛物线的轴对称的性质得到点A关于对称轴的对称点B，应用轴对称的知识完成线段和最短的计算.

试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，

∴× （-1 ）2 + b× （-1） –2 = 0，解得b =，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2．

∴y=（x-）2-,∴顶点D的坐标为（, -）．

（2）当x = 0时，y = -2，∴C（0，-2），OC = 2，

当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4,∴B （4,0），

∴OA = 1，OB = 4，AB = 5，

∵AB2 = 25，AC2 = OA2 + OC2 = 5，BC2 = OC2 + OB2 = 20，

∴AC2 +BC2 = AB2，∴△ABC是直角三角形．

（3）点A关于对称轴的对称点B， BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MA的值最小，即△ACM周长最小，

可求直线BC的解析式为，

∴，△ACM最小周长是.

考点：待定系数法求解析式；勾股定理的逆定理；应用轴对称求线段和最短.

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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