Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM= 度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 ．

Answer 1

【答案】（1）120；（2）∠AOM﹣∠NOC=30°，理由参见解析；（3）6或24秒．

【解析】

试题分析：（1）由角平分线意义可得∠BOM=120°÷2=60°，根据平角的意义可算出∠AOM的度数；（2）如图3，∠AOM转化成∠MON-∠AON，∠NOC转化成∠AOC-∠AON，则∠AOM﹣∠NOC=（∠MON-∠AON）-（∠AOC-∠AON），即等于∠MON-∠AON-∠AOC+∠AON=∠MON-∠AOC=90-60=30度，从而推出∠AOM与∠NOC之间的数量关系；（3）若直线ON恰好平分∠AOC，当逆时针旋转60°时，ON平分∠AOC，或当逆时针旋转240°时，ON平分∠AOC，分别除以10，即为所求的旋转时间．

试题解析：（1）由题意可知：OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=120°÷2=60°，∴∠AOM=180°﹣60°=120°； （2）如图3，∵∠BOC=120°，∴∠A0C=60°，∠AOM转化成∠MON-∠AON，∠NOC转化成∠AOC-∠AON，∵∠AON=90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，当逆时针旋转60°或逆时针旋转240°时 ON平分∠AOC， 于是可列10x=60或10x=240，∴x=6或x=24，即此时三角板绕点O旋转的时间是6秒或24秒．故答案为：6秒或24秒．