Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Answer 1

（1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8﹣t．
∴S_△OPQ=（0＜t＜8）；
（2）证明：∵S_{四边形OPBQ}=S_矩形ABCO﹣S_△PAB﹣S_△CBQ==32；
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；
（3）解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴=，
∴，
解得：t=4，经检验：t=4是方程的解且符合题意；（从边长关系和速度考虑），
∴QO=4，
∴直线QB的解析式为：y=kx+b，
∴y=x+4，此时P（，0）；
∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是，直线BP是：．
设M（m，）、N（m，）．
∵M在BP上运动，
∴
∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P；
∴当时，y₁＜y₂
∴|MN|=|y₁﹣y₂|
=|m²﹣2m+8﹣（m﹣8）|
=m﹣8﹣（m²﹣2m+8）
=m﹣8﹣m²+2m﹣8
=﹣m²+3m﹣16
=，
∴当时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则，；
∴S_△BHM==
∴S_△BHM：S_{五边形QOPMH}==3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．