Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，设AG＝．

（1）直接写出点H到AD的距离；

（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；

（3）当为何值时，△EHC是等腰三角形．

Answer 1

    解：(1)点H到AD的距离为2;         

        (2)∵△HGD中GD边上的高为2

            ①当△HDG面积取得取大值时，底边GD最大,

               此时点G与点A重合，如图1，

               ∴GD=AD=14  ∴S_△HGD的最大值是14.

             图1                          图2

            ②当△HGD面积取得最小值时，底边GD最小.

               此时点H在CD边上，如图2， 

               过C作CP⊥AD于P,DP=AD-AP=AD-BC=6

               又∵CP=AB=6  ∴∠D=45°             

               过点H作HM⊥AD于M,则MD=MH=2

               显然△HMG≌△FBE ∴GM=BE=3

               ∴GD=GM+MD=5 ∴S_△HGD的最小值是5

                                            

  、

  (3)过H作HN⊥BC于N，如图3显然Rt△FAG≌Rt△HNE

           ∵EC=BC-BE=5  HN=FA=AB-FB=4,EN=AG=x

           ∵△EHC是等腰三角形

           ①当EH=EC时,EH=5,HN=4 ∴EN=3 即x=3 

           ②当HC=EC时,HC=5,HN=4 ∴NC=3

             EN=EC-NC=2  即x=2            

           ③当EH=HC时,EN=NC=EC=2.5    

               综上所述，当x=2或2.5或3时，

               △EHC是等腰三角形