Question

【题目】如图1，在等腰中，为中线，将线段绕点逆时针旋转；得到线段连接交直线于点，连接．

（1）若，则 ；

（2）若是钝角时，

①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；

②探究图2中的形状，并说明理由；

③若则 ．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析；③

【解析】

（1）根据等腰△ABC的性质可得∠BAD的角度，从而得出∠ABD的角度；在等腰△ABE中，可推导得出∠ABE的大小，从而得出∠FBC；

（2）①根据题干要求补全图形即可；

②如下图，根据等腰△FBC的性质可得到△FAB≌△FAC，从而得∠FBA=∠FCA，再根据旋转特点，可得∠FBA=∠AFB，最后利用Rt△AEC和△CEF之间的角度转化可得∠EFC=90°，从而得出三角形形状；

③在Rt△AEC中，可求得EC的长，再在Rt△BFC中求得FC的长，最后在Rt△EFC中得出EF的长.

（1）∵AE是AC绕点A逆时针旋转90°所得

∴∠CAE=90°，CA=AE

∵AB=AC，

∴AB=AE

∵∠BAC=30°，AD是等腰三角形的中线

∴∠BAD=∠DAC=15°，AD⊥BC

∴∠BAE=120°

∴在△ABE中，∠ABE=∠E=30°

在△ADB中，∠ABD=75°

∴∠FBC=45°

（2）①如下图：

是等腰直角三角形

②是等腰直角三角形，理由如下

.

是的垂直平分线

又

由旋转可知，又.

又

即.

又.

为等腰直角三角形

③∵AB=5，

∴AC=5

∵△ACE是等腰直角三角形

∴可得：AE=5，EC=

∵BC=8

∴在等腰直角三角形FBC中，FB=FC=4

∴在Rt△EFC中，EF=