Question

已知：在正方形ABCD的BC上取一点E，连接AE，把图形沿AE边翻折，问：
（1）当点B的对称点B′落在对角线AC上时，求tan∠AEB的值；（结果保留根号）
（2）过点B′作的平行线BH交AD 于F交BC于H，判断此时△EB′C与△AFB′相似吗？如果相似，求出△EB′C与△AFB′相似的相似比．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）先设BE=x，则EB′=x，根据翻折性质易知△≌△AB′E，那么∠AB′E=90°，结合正方形性质易证△EB′C为等腰直角三角形，利用勾股定理可求EC，从而可求BC，进而可求tan∠AEB；
（2）根据平行线的性质、正方形的性易知△AB′F与△EB′C均为等腰直角三角形，那么△AB′F∽△EB′C．易知B′H是△B′CE的高，根据三线合一定理可知CH=

1

2

CE，进而可求AF，从而可求相似比

AF

B′C

．

解答：解：如图所示，
（1）设BE=x，则EB′=x，△EB′C为等腰直角三角形，
∴EC=

2

x，
∴BC=x+

2

x=（1+

2

）x，
∴tan∠AEB=

AB

BE

=

BC

BE

=1+

2

；

（2）相似．因为△AB′F与△EB′C均为等腰直角三角形．
∵AF=BC-CH，CH=

1

2

CE=

2

2

x，
∴AF=（1+

2

）x-

2

2

x=x+

2

2

x，
∴相似比=

AF

B′C

=

x+ 2 2 x

x

=1+

2

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一性质．解题的关机那是求出BC，AF．