我们将抛物线少y=ax2+bx+c与x轴的一个交点.与y轴的交点及原点三点构成的三角形.称为这条抛物线的“原发三角形 (1)抛物线y=x2-2x+1的“原发三角形的面积为$\frac{1}{2}$,(2)当c=-1时.抛物线y=的两个“原发二角形全等?请在图1平面直角坐标系中画出该抛物线的图象.并说明理由,(铅笔画图后请用黑色水笔加浓)(3)请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．我们将抛物线少y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点、与y轴的交点及原点三点构成的三角形，称为这条抛物线的“原发三角形”

（1）抛物线y=x²-2x+1的“原发三角形”的面积为$\frac{1}{2}$；
（2）当c=-1时，抛物线y=（x-1）（x-c）（其中c≠0和1）的两个“原发二角形”全等？
请在图1平面直角坐标系中画出该抛物线的图象，并说明理由；（铅笔画图后请用黑色水笔加浓）
（3）请直接写出抛物线y=x²+4x+c的“原发三角形”的个数及相应的c的取值范围（或值）．
（4）如图2，点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2），点A是射线BO上的动点（不与点B，O重合）．△AOC和△BOC是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的两个“原发三角形”．当原点到△ABC的外接圆圆心的距离最小时，求出此时抛物线的解析式．

分析（1）由抛物线解析式求出与坐标轴的交点，然后求出面积；
（2）由抛物线解析式表示出与坐标轴的交点，用全等三角形，得到的结论建立方程求出；
（3）根据抛物线与x轴的交点个数来判断抛物线的原发三角形的个数；
（4）根据三角形的外接圆的圆心在三边的垂直平分线，再利用相似即可．

解答解：（1）∵抛物线y=x²-2x+1，
∴抛物线与x轴的交点为B（1，0），与y轴的交点为C（0，1），
∴S=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$
（2）∵y=（x-1）（x-c），
∴A（1，0），B（c，0），
∵抛物线y=（x-1）（x-c）（其中c≠0和1）的两个“原发二角形”全等，
∴①△AOC≌△BOC，
∴AO=BO，
∴|c|=1，
∴c=1（舍）或c=-1，
②△AOC≌△COB，
∴AO=CO，
∴∴|c|=1，
∴c=1（舍）或c=-1，
故答案为c=-1
（3）抛物线y=x²+4x+c的“原发三角形”，
∴△=16-4c，
①当△＜0时，即：16-4c＜0，
∴t＞4时，没有原发三角形，
②当△=0时，即：c=4时，只有一个原发三角形，
③当△＞0，即：c＜4且c≠0时，有两个原发三角形．
（4）∵点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2）
∴BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴△ABC的外接圆圆心M，
∴M在BC垂直平分线l上，
∴l的解析式为y=2x-3，
∵△ODM∽△CDF，
∴$\frac{OM}{CE}=\frac{OD}{CD}$，
∴$\frac{OM}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴OM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
根据勾股定理得，DM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴MF=$\frac{6}{5}$，OF=$\frac{3}{5}$，
∴M（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∵M也是AB的垂直平分线，
∴A（-$\frac{8}{5}$，0），
∵点A，B（4，0），C（0，2）在抛物线上，
∴y=a（x+$\frac{8}{5}$）（x-4），
∴a=-$\frac{5}{16}$，
∴y=-$\frac{5}{16}$x²+$\frac{3}{4}$x+2．

点评此题是二次函数这题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的确定方法，全等三角形的性质，判别式的应用，函数解析式的确定，解本题的关键是理解原发三角形．

试题分类