题目内容
通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据__ __________，易证△AFG≌_ _______，得EF=BE+DF。
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_ ___时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
(1)SAS ,△AFE；(2)∠B +∠D=180°；(3)BD2+EC2=DE2.
【解析】
试题分析：(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE，进而得到EF=FG，即可得到EF=BF+DF；
（2）∠B +∠D=180°时，EF=BF+DF，与（1）的证法类同；
（3）把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合得到∠ECG=90°，所以EC2+CG2=EG2.易证△AEG≌△AED.得DE=EG. 又CG=BD,故BD2+EC2=DE2.
(1)SAS ,△AFE
(2)∠B +∠D=180°
(3)解：BD2+EC2=DE2.
∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.
又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.
考点：几何变换综合题.
