Question

4．如图，△ABC是等边三角形，边长为5，D为AC边上一动点，连接BD，⊙O为△ABD的外接圆，过点A作AE∥BC交⊙O于E，连接DE，则△BDE的面积的最小值为$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 首先证明△BDE是等边三角形，然后由题意可知当⊙O的半径最小时△BDE的面积的最小，即当当AB是⊙O的直径时，⊙O的半径最小=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，并且此时BD⊥AC，利用已知条件求出圆内接三角形BDE的边长，即可求出△BDE的面积．

解答 解：如图所示：连接BE，
∵等边三角形ABC，
∴∠1=∠C=60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=∠1+∠2=180°-∠C=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圆周角相等），
∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，
∴△BDE是等边三角形；
当⊙O的半径最小时△BDE的面积的最小，当AB是⊙O的直径时，⊙O的半径最小=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
此时BD⊥AC，
∴DE=BD=AB•sin∠1=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴△BDE的面积的最小值=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．
故答案为$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：等边三角形的判定和性质、圆周角定理、平行线的性质以及特殊角的锐角三角函数值，证得△BDE是等边三角形是解题的关键．