题目内容

如图，平面直角坐标系中画出了函数l₁：y₁=kx+b的图象．

（1）根据图象，求k，b的值；
（2）请在图中画出函数l₂：y₂=-2x的图象；
（3）分别过A、B两点作直线l₂的垂线，垂足为E、F．问线段AE、BF、EF三者之间的关系，并说明理由．
（4）设l₃：y₃=kx（k＞0），分别过A、B两点作直线l₃的垂线，垂足为E、F．直接写出线段AE、BF、EF三者之间的关系______．
（5）若无论x取何值，y总取y₁、y₂、y₃中的最大值，求y的最小值．

解：（1）∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，OB=6，
∴OA=OB=6，
∴点A的坐标为：（-6，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得：k=1，b=6；

（2）如图1：当x=1时，y₂=-2，画图得：

（3）AE=BF+EF．
理由：∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，

∴∠AOE=∠FBO，
在△AOE和△BOF中，
$\text{[math]}$ ，
∴△AOE≌△OBF （AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=BF+EF；

（4）猜想：AE=BF+EF．
证明∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠AOE=∠FBO，
在△AOE和△BOF中，
$\text{[math]}$ ，
∴△AOE≌△OBF （AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=BF+EF；
故答案为：AE=BF+EF；

（

5）联立函数l₁与函数l₂可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
联立函数l₁与函数l₃可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴函数l₁与函数l₂的交点为：（-2，4），函数l₁与函数l₃的交点为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
如图3，当0＜k＜1，
当x＜-2时，y=-2x＞4，
当x＞-2时，y=x+6＞4，
当x=-2时，y=4；
∴此时y的最小值为4；
如图4，当k＞1，
当x＜-2时，y=-2x＞4，
当x=-2时，y=4；
当-2＜x＜ $\text{[math]}$ 时，y=x+6＞4，
当x≥ $\text{[math]}$ 时，y= $\text{[math]}$ =6+ $\text{[math]}$ ＞6；
∴此时y的最小值为4；
综上可得：y的最小值是4．
分析：（1）由∠OAB=45°，∠AOB=90°，OB=6，可求得OA=OB=4，然后利用待定系数法，即可求得k，b的值；
（2）取点（0，0），（1，-2），即可画出y₂=-2x的图象；
（3）利用AAS，易证得△AOE≌△OBF，则可得到线段AE、BF、EF三者之间的关系；
（4）利用AAS，易证得△AOE≌△OBF，则可得到线段AE、BF、EF三者之间的关系；
（5）由y总取y₁、y₂、y₃中的最大值，易求得当x=2时，y取最小值．
点评：此题考查了一次函数的性质、待定系数法求函数的一次解析式、一次函数的交点以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．