Question

如图1，在平行四边形ABCD中，AC=CD．
（1）求证：∠D=∠ACB；
（2）若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．（如图2）
①求证：△ADF∽△ACE；
②求证：AE=EF．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质可得到∠BCA=∠CAB，由等边对等角可得到∠CAD=∠D，根据平行四边形的性质利用SAS可判定△BCA≌△DAC，由全等三角形的性质即可得到结论．
（2）①根据两组边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似即可得到结论．
②由△ADF∽△ACE可得到对应边成比例，已知∠EAF=∠CAD从而可推出△AEF∽△ACD，已知AC=CD，根据对应成比例不难得到结论．

解答：证明：（1）∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD．（1分）
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠CAD=∠ACB．（1分）
∴∠D=∠ACB．（1分）

（2）①∵∠EAF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAE．（2分）
又∵∠D=∠ACB，（1分）
∴△ADF∽△ACE．（2分）
②∵△ADF∽△ACE，
∴

AD

AF

=

AC

AE

．（1分）
∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD．（1分）
∴

AE

EF

=

AC

CD

．（1分）
又∵AC=CD，
∴AE=EF．（1分）

点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用．