Question

（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．
题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求

AB

EH

的值是

3

，

CG

EH

的值是

2

，从而确定

CD

CG

的值是

3

2

．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若

AF

EF

=m（m＞0），则

CD

CG

的值是

m

2

．（用含m的代数式表示），写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若

AB

CD

=a，

BC

BE

=b（a＞0，b＞0），则

AF

EF

的值是

ab

．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．

Answer 1

分析：（1）过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）先作EH∥AB交BG于点H，得出△EFH∽△AFB，即可得出

AB

EH

=

AF

EF

=m，再根据AB=CD，表示出CD，根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG，即可表示出

CG

EH

=

BC

BE

，从而得出

CD

CG

的值；
（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，得出EH∥AB∥CD，根据EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根据

AB

CD

=a，得出AB=aCD=abEH，再进一步证出△ABF∽△EHF，从而得出

AF

EF

的值．

解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，
则有△ABF∽△HEF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

，
∴AB=3EH．
∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH，
∴

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故答案为：3，2，

3

2

．

（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，
∴CG=2EH．
∴

CD

CG

=

mEH

2EH

=

m

2

．
故答案为：

m

2

．

（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=b，
∴CD=bEH．
又

AB

CD

=a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

abEH

EH

=ab；
故答案为：ab．

点评：此题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值．