Question

已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（　　）

• A、32

  2

  -32-4π
• B、

  2

• C、1
• D、16-4π

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：连接OA、OB，作BI⊥OA于点I，作OM⊥AB于点M，求得△AOB的面积，则正八边形的面积即可求得，然后减去圆的面积即可求解．

解答：解：连接OA、OB，作BI⊥OA于点I，作OM⊥AB于点M．
则∠AOB=

360°

8

=45°，∠AOM=

1

2

∠AOB=22.5°．
∵在直角△AOM中，cos∠AOM=

OM

OA

，
∴OA=

OM

cos∠AOM

=

2

cos22.5°

=

2(4+2 2 )

2 +1

=4

2

-8．
则BI=（4

2

+8）•tan∠AOB=2tan45°=（8-4

2

）×

2

2

=4

2

-4，
则S_△AOB=

1

2

OA•BI=

1

2

×2×（4

2

-4）=4

2

-4，
则八边形ABCDEFGH的面积是8（4

2

-4）=32

2

-32．
⊙O的面积是：4π，
则阴影部分的面积为：32

2

-32-4π．
故选A．

点评：本题考查了正多边形的计算，正确求得△AOB的面积是解决本题的关键．