Question

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB.

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sin A=，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）连接OB，通过证明∠OBC=90°，从而证明BC是⊙O的切线   
（2）∠ABF=30° （3）

解析试题分析：解：
（1）证明：连接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBE.
∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，
∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，
又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）
∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，
又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；
（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG.

∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，
∵sin∠ECG="sin" A =，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2.
∵△ADE∽△CGE，∴，即，
∴AD=，∴OA=，即⊙O的半径是.
考点：圆的相关知识和相似形
点评：该题所应用的考点较多，主要是圆的知识点，其中包括切线的证明和圆心角和圆周角的关系，这些都要求学生必须掌握。