Question

当a，b为何值时，方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有实数根？

Answer 1

解：若方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有实数根，则△≥0，
∵△=4（1+a）²-4（3a²+4ab+4b²+2），
=4a²+8a+4-12a²-16ab-16b²-8，
=-8a²-16ab-16b²+8a-4，
∴-8a²-16ab-16b²+8a-4≥0，
即-2a²-4ab-4b²+2a-1≥0，
-a²+2a-1-a²-4ab-4b²≥0，
（a-1）²+（a+2b）²≤0．
因为（a-1）²+（a+2b）²≥0，
∴（a-1）²+（a+2b）²=0，
∴a-1=0且a+2b=0，
所以a=1，b=-．
所以当a=1，b=-时，方程x²+2（1+a）x+3a²+4ab+4b²+2=0有实数根．
分析：由方程有实数根，得到△≥0，即∵△=4（1+a）²-4（3a²+4ab+4b²+2）=-8a²-16ab-16b²+8a-4≥0，再经过变形得，（a-1）²+（a+2b）²≤0，所以有a-1=0且a+2b=0，由此可求出a，b的值．
点评：题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了几个非负数的和为0的性质以及代数式变形的能力．