Question

如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ-BQ=PQ，求

PQ

AB

的值．

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=

1

2

AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM-PN的值不变；②

MN

AB

的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

Answer 1

分析：（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的

1

3

处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD=

1

2

AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN=PN-PM=

1

12

AB．

解答：解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴点P在线段AB上的

1

3

处；

（2）如图：

∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ；
又AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=

1

3

AB，
∴

PQ

AB

=

1

3

．
当点Q'在AB的延长线上时
AQ'-AP=PQ'
所以AQ'-BQ'=PQ=AB
所以

PQ

AB

=1；

（3）②

MN

AB

的值不变．
理由：如图，当点C停止运动时，有CD=

1

2

AB，
∴CM=

1

4

AB；

∴PM=CM-CP=

1

4

AB-5，
∵PD=PB-BD=

2

3

AB-10，
∴PN=

1

2

(

2

3

AB-10)=

1

3

AB-5，
∴MN=PN-PM=

1

12

AB；
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，

MN

AB

=

1 12 AB

AB

=

1

12

．

点评：本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．