Question

【题目】已知：等边三角形，交轴于点，，，，，且、满足．

（1）如图，求、的坐标及的长；

（2）如图，点是延长线上一点，点是右侧一点，，且．连接．

求证：直线必过点关于轴对称的对称点；

（3）如图，若点在延长线上，点在延长线上，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（-3,0），B（1,0），CD=2；（2）见解析；（3）6.

【解析】

（1）首先利用绝对值的非负性得出，即可得出点A、B的坐标；得出AB、BC，然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°，进而得出BD，得出CD；

（2）首先判定△CEP、△ABC为等边三角形，进而判定△CBE≌△CAP，然后利用角和边的关系得出DO=OF，即可判定点D、F关于轴对称，直线必过点关于轴对称的对称点；

（3）作DI∥AB，判定△CDI为等边三角形，然后判定△MDI≌△NDB，得出NB=MI，进而得出的值.

（1）∵，即

∴

∴

∴A（-3,0），B（1,0），

∴AB=BC=4，

∵∠CBA=60°

∴∠ODB=30°

∴BD=2OB=2

∴CD=BC-BD=4-2=2；

（2）延长EB交轴于F，连接CE，如图所示：

∵，

∴△CEP为等边三角形

∴∠ECP=60°，CE=CP

由（1）中得知，△ABC为等边三角形

∴∠ACB=60°，CA=CB

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP

∴∠ACP=∠BCE

∴△CBE≌△CAP（SAS）

∴∠CEB=∠CPA

∴∠EBP=∠ECP=60°

∴∠FBO=∠DBO=60°

∴∠BFO=∠BDO=30°

∴BD=BF

∵BO⊥DF

∴DO=OF

∴点D、F关于轴对称

∴直线必过点关于轴对称的对称点；

（3）过点D作DI∥AB交AC于I，如图所示：

由（2）中△ABC为等边三角形，则△CDI为等边三角形，

∴DI=CD=DB

∴∠MID=120°=∠DBN

∴△MDI≌△NDB（AAS）

∴NB=MI

∴AN-AM=（AB+NB）-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6